بحث عن الأعداد المركبة وأمثلتها مع العناصر

بحث عن الأعداد المركبة سيساعد الطلبة على فهمها بطريقة بسيطة، فالأعداد المركبة تأخذ مكانة كبيرة في علم الرياضيات، وتحتل دور في أي تطبيق علمي، فتتكون الأعداد المركبة من نوعين من الأعداد، وهي أكثر الأعداد صعوبة في الفهم وأكثرهم تعقيدًا، أطلق عليها الأعداد المستحيلة ولم يكن اكتشافها بالشيء الهين، ومن خلال موقع الماقه سنعرض لكم نموذج بحث عن الأعداد المركبة.

بحث عن الأعداد المركبة

الأعداد المركبة معقدة بعض الشيء، فهي تتكون من نوعين من الأعداد، وهما الأعداد الحقيقية والأعداد التخيلية، فالأعداد التخيلية هي التي عند تربيعها تعطي ناتج سالب، والأعداد الحقيقية هي التي عند تربيعها تعطي ناتج موجب، على سبيل المثال لأن -2*-2=4.

تضم الأعداد التخيلية جميع الأعداد ماعدا i الذي يساوي الجذر التربيعي للعدد -1، أي أنه

(-1)= i، ومن أمثلة الاعداد التخيلية (3i)، (1.04i، ونلاحظ أن أي جزء من الأعداد المركبة يساوي صفر في الجزء التخيلي والأعداد التخيلية هي أعداد مركبة الجزء الحقيقي فيها يساوي صفر مثل:

العدد المركب
الجزء الذي يمثل العدد الحقيقي
الجزء الذي يمثل العدد التخيلي
النوع

2i+3
3
2i
عدد مركب مكون من جزأين حقيقي و تخيلي.

5
5
0
عدد مركب مكون من جزء حقيقي فقط.

6i
0
6
عدد مركب مكون من جزء تخيلي فقط

يمكنك أيضًا الاضطلاع على: بحث عن الأخطاء الشائعة في اللغة العربية وصوابها

العناصر

• المقدمة
• خصائص الأعداد المركبة.
• العمليات الحسابية على الأعداد المركبة.
• تمثيل الأعداد المركبة بيانيًا.
• أمثلة متنوعة حول الأعداد المركبة.
• تواجد الأعداد المركبة في الواقع.
• الخاتمة

مقدمة بحث عن الأعداد المركبة

قام علماء الرياضيات بتقسم الأعداد إلى أنواع مختلفة مثل: الأعداد النسبية والصحيحة والطبيعية والمركبة، لكن الأعداد المركبة هي الأكثر تعقيدًا بين الأعداد، فلا يستطيع بعد الطلاب استيعابها وذلك بسبب إلى طبيعة اسم الأعداد التخيلية التي تخلق حائل بين تقبل الطالب والموضوع، حيث أنه يعتبر ظاهرة بلا سبب.

أشارت الإحصائيات إلى أن هناك 85% من الناس لا يتقبلوا هذه الأعداد بسبب طبيعة اسمها، وإذا امعنا النظر جيدًا نجد أن الإغريق القدماء أطلقوا عليها أعداد غير عقلانية وبمرور الوقت تطور إلى اسم الأعداد المركبة، وسيعرض الجدول الآتي أمثلة على الأعداد المركبة وصورها القياسية:

العدد المركب
الصورة القياسية(أ+ب i)
الجزء الذي يمثل العدد الحقيقي و الجزء الذي يمثل التخيلي

7i + (-2)
7i +(-2)
العدد الحقيقي يساوي -2 والعدد التخيلي يساوي 7

i(3) – 4
i(-3) + 4
العدد الحقيقي يساوي 4 والعدد التخيلي يساوي -3

9i
9i + 0
العدد الحقيقي يساوي صفر والتخيلي يساوي 9

-2
0i + -2
العدد الحقيقي يساوي -2 والتخيلي يساوي 0

يمكنك أيضًا الاضطلاع على:  بحث عن هجرة الرسول وأسبابها والنتائج المترتبة عليها مع العناصر

خصائص الأعداد المركبة

تستخدم الأعداد المركبة في العديد من تطبيقات الحياة العملية، فتستخدم في الهندسة الكهربائية وميكانيكا الكم، كما تساعد في حل أي معادلة كثيرة الحدود مهما كان نوعها، فعلى سبيل المثال س²-2س+5=0 ليس لها حل لأن معامل  سالب، ولكن يوجد حل لها في الأعداد المركبة وهو: 2i-1  و 2i+1، وتتمثل خصائص هذه الأعداد في:

• كل الأعداد الزوجية الأكبر من 2 تعتبر أعداد مركبة.
• يمكن كتابة وتحليل الأعداد المركبة إلى أعداد أولية.
• أصغر الأعداد المركبة هو العدد 4.
• i=.

العمليات الحسابية على الأعداد المركبة

توجد الكثير من العمليات الحسابية التي يمكن إجرائها على الأعداد المركبة، وهي:

جمع الأعداد المركبة

عند جمع الأعداد المركبة يجب جمع العددين التخيلين أولًا، ووضع الناتج، ثم جمع العددين الحقيقين و وضع الناتج جانب الناتج الأول مثل:

جمع العددين المركبين (4+3i) والعدد المركب (2+2i) كالاتي:

(4+2) + (3i+2i)  i(2+3)+(6) = وهذا يساوي 5i+6

ضرب الأعداد المركبة

عملية ضرب الأعداد المركبة تشبه عملية ضرب الاقتران كثير الحدود، فعند ضرب عدد تخيلي في عدد تخيلي يكون الناتج عدد حقيقي، وبالتالي فإن حاصل ضرب (أ+بi)*(ج+دi) كالآتي:

أ ×(جـ+دi) + بi×(جـ+دi) =) أ×جـ) + (أ×د)×i + (ب×جـ)×i + (ب×د)×i² =

(أ×جـ) + ((أ×د) + (ب×جـ)) i + (ب×د)×(-1) اذًا فإن حاصل ضرب (أ+بi)*(ج+دi) يساوي (أ*ج – ب*د) + (أ*د + ب*ج) *  i

مثـــــــــــال: ما هو حاصل ضرب  (2i – 4)* (2i + 3)

بتطبيق القانون المذكور في الأعلى، وبتعويض في مكان الأرقام ب أ و ب و ج و د فيكون أ=3 و ب=2 و ج=4 و د=-2

فسنجد أن (4*3) – (2*-2) + (-2*3) + i(4*2) سيكون الناتج يساوي 2i + 6

يمكنك أيضًا الاضطلاع على:  بحث عن جهود رجال الامن في المحافظة على الأمن جاهز للطباعة

قسمة الأعداد المركبة

لقسمة الأعداد المرقبة يجب معرفة العدد المرافق للعدد المركب ويعرف بأنه نفس العدد المركب، ولكن بعكس الإشارة في الوسط، على سبيل المثال إذا كان العدد المرافق للعدد (أ + بi) هو (أ – بi) وهذا معناه أن الجزء الخاص بالعدد الحقيقي يبقي كما هو أما الجزء الخاص بالعدد التخيلي تتغير اشارته وعادة ما يوضع إشارة (ـــــ) فوق العدد المرافق ليتميز عن العدد المركب.

يمكن لقيمة الأعداد استخدام المرافق للمركب عن طريق كتابة العددين المركبين المراد قسمتهما على بعضهما وبينهما شرطة كسر ثم ضرب البسط والمقام بموافق العدد في المقام مثل:

ما هو ناتج 2+3i على 4-i5 ؟

سيضرب البسط والمقام في العدد (5i+4) وتجميع الحدود فيكون ناتج القسمة (-7+22i)/41

تمثيل الأعداد المركبة بيانيًا

يمكن تمثيلها بيانيًا عن طريق رسمها على المستوى الإحداثي البياني ذو الحورين السيني والصادي، فيمثل الجزء التخيلي على المحور الصادي (المحور العامودي) والجزء الحقيقي على المحور السيني (المحور الأفقي)، فتتشكل مجموعة من النقط كل نقطة تدل على عدد معين.

أمثلة متنوعة حول الأعداد المركبة

المثال الأول: ما هو العدد الحقيقي والعدد التخيلي في العدد المركب الآتي: i19-14

العدد التخيلي هو:-19

العدد الحقيقي هو:14

المثال الثاني: ما ناتج ضرب 3i * 4i

بما أن تساوي –1 وبتعويض قيمتها في المثال ينتج أن تساوي 12= -12

المثال الثالث: ما هو العدد المرافق للأعداد الاتية:

(أ2+5√i ب) 1/2i

يمكن الحصول على العدد المرافق عن طريق إبقاء العدد الحقيقي كما هو، وعكس إشارة العدد التخيلي فيصبح الناتج : أ) 2-5√i

                                  ب) 1/2i.

المثال الرابع: ناتج جمع الأتي: (3+2i)، و (1+7i) ؟

سيتم جمع الأعداد الحقيقية معًا والأعداد التخيلية معًا وسينتج (3+1)+ (2+7)i

يساوي 4 + 9i.

المثال الخامس: إذا كانت س = 1+2i، فما هي قيمة س3+2س²+4س+25؟

س3 = 3(1+2i) يساوي -11-2i و 2س² = 2ײ(1+2i) ي= 2×(-3 + 4i) = -6+8i

و 4س = 4×(1+2i) =4+8i.

وبتجميع السابق ذكره سينتج:        .i14 + 12 = 25+ (4 + 8i )+ (-6 + 8i) + (2i- 11-)

المثال السادس: ما هو ناتج العدد المركب الاتي: i+ i² + i3 + i4؟

i² = -1، و i4 = +1، و i3 = i– وبالتعويض في المسألة ينتج i-1-i+1 =0.

يمكنك أيضًا الاضطلاع على:  بحث كامل عن الحركة الدورانية في الفيزياء جاهز للطباعة

تواجد الأعداد المركبة في الواقع

برغم تعقيد الأعداد المركبة إلا أنها تستخدم في مجالات شتى في الواقع، وهي تتمثل في:

• نستخدم الكهرباء من خلال الأعداد المركبة، وهي هامة جدًا في علم الميكانيكا والفيزياء، وكل علم من خلال يتم اختراع شيء يفيد الناس.
• الأعداد المركبة لها قدرة على الوصول إلى النتيجة النهائية بشكل صحيح لعالم الرياضة والفيزياء والميكانيكا والديناميكا فمثلًا: إذا كنت تكتب بحث عن الأعداد المركبة وتريد تقريبه للطالب بطريقة سهله فيمكنك ضرب مثال من الواقع، والذي يتمثل في قولك: “إذا كنت في متحف الشمع ورأيت تمثال لشخص ذو أعمال جليلة ودققت النظر فيه ستجده مثل الشخص الحقيقي.

لكن الإنسان لم يصنع من الشمع بل الشمع كان طريقة لتجسيد الإنسان على شكل        تمثال، فهو نفس الحال في الأعداد المركبة بالنسبة لأي علم تدخل فيه، فلا يستطيع الوصول إلى أفضل النتائج دون استخدام هذه الأعداد.

خاتمة بحث عن الأعداد المركبة

عرفنا أهمية الأعداد المركبة بالنسبة للحياة الواقعية والعلوم المختلفة، ولكن لن يقف أبدًا الإنسان عند اكتشاف هذه الأعداد المعقدة، فتخضع الأعداد المركبة لجميع العمليات الحسابية وتساعد على إيجاد حلول للدوال التي عجزت الأعداد الحقيقية عن إيجاد حل لها، فمن خلال عرض بحث عن الأعداد المركبة بالتفصيل والمرور على أبرز النقاط المتعلقة بتلك الأعداد قد حاولنا تبسيط الأمور إلى أقرب قدر ممكن.

يمكنك أيضًا الاضطلاع على:  بحث عن الأثار الفرعونية في مصر جاهز للطباعة
الأعداد والأرقام عالم واسع لم يستطع الإنسان الوصول إلى نهايته حتى الآن، واليوم قد قدمنا بحث عن الأعداد المركبة، وتم معرفة ماهية هذه الأعداد ومما تتكون، وما هي طريقة حلها من خلال استخدام العمليات الحسابية المختلفة، وخدمت الأعداد المركبة العديد من العلوم منها الفيزياء والرياضيات مما أدى إلى اختراع الكثير من الأشياء المفيدة للبشرية.