بحث عن تصنيف المثلثات يمكن الاستعانة به لطلبة الهندسة بجميع المراحل التعليمية، نظرًا إلى أن المثلثات من الأشكال الهندسية التي يتم استخدامها في كثير من النظريات والتصميمات والمسائل الرياضية وغيرها، فسنهتم اليوم من خلال موقع الماقه بعرض تصنيف المثلثات.
بحث عن تصنيف المثلثات
يطلب المعلمون في المدارس البحوث العلمية من الطلاب وذلك تبعَا لمجال دراستهم، فتجد أن معلم الرياضيات يطلب من تلاميذه بحث عن تصنيف المثلثات، وهذا من أجل جعل الطلاب يُحصلون أكبر قدر ممكن من المادة العلمية، فعندما يبحث الطالب بنفسه عن شيء سيتمكن من معرفة هذا الشيء جيدًا وبالتالي لن يتمكن من نسيانه.
لكي يتمكن الطالب من عمل بحث عن المثلث يجب عليه أن يكون مُلم بكافة نواحيه بدءًا من تعريفه كشكل هندسي ووصولًا للنظريات التي يتم تطبيقها عليه من قبل العلماء، وهذا ما سنعرضه بصورة مبسطة فيما يلي.
تعريف المثلث
في إطار عرض بحث عن تصنيف المثلثات، سنوضح أن المثلث باللغة الإنجليزية يسمى Triangle وتعريفه بالعربية أنه شكل هندسي أبعاده ثنائية، وثلاثي الأضلاع.
يتكون الشكل من ثلاثة قطع مستقيمة تشكل الأضلاع وفي نهايتها يتم تكوين رؤوس الزوايا، يتم تسمية المثلث بالاعتماد على الرموز، فالمثلث يكون له ثلاث زوايا مجموعهم 180 درجة، ومن أبرز المصطلحات المتعلقة بالمثلث ما يلي:
- الرأس: هي زاوية المثلث.
- متوسط المثلث: هو الخط الممتد من الرأس إلى منتصف الضلع المقابل، ويتقاطع المثلث في نقطة تلاقي المتوسطات.
- الارتفاع: هو العمود الممتد من القاعدة لرأس المثلث المقابل، وتوجد ثلاث قواعد محتملة للمثلث الواحد.
- القاعدة: أي ضلع من أضلاع المثلث من الممكن أن يشكل القاعدة، وفي أغلب الحالات تكون القاعدة هي المرسومة من الأسفل.
أنواع المثلثات
في ضوء التعرف إلى بحث عن تصنيف المثلثات، سنوضح أنه يمكن تصنيف أنواع المثلثات على حسب ما يلي:
1- أنواع المثلثات تبعًا للزوايا
يتم تقسيم المثلثات تبعًا للزوايا كما يلي:
نوع المثلث
المثلث الحاد الزاوية
المثلث القائم الزاوية
المثلث المنفرج الزاوية
خصائصه
هو المثلث الذي تكون قياسات زواياه أقل من 90 درجة.
هو المثلث الذي يمتلك زاوية قائمة 90 درجة.
مثلث يمتلك زاوية منفرجة (أكبر من 90 درجة).
أنواعه
–
المثلث
(90-45-45) وهذا النوع يكون قائم ومتساوي الساقين والأضلاع تتناسب مع بعضها بنسبة 1:1:2.
–
المثلث
(30-60-90)
وهو مثلث زاويته قائمة ومختلف الأضلاع وغير متساوي الساقين، وتتناسب هذه الأضلاع مع بعضها بنسبة 2:3:1.
2- أنواع المثلثات تبعًا للأضلاع
أما بالنسبة لتقسيم نوع الأضلاع على حسب المثلثات فيكون:
نوع المثلث
مثلث متساوي الأضلاع
مثلث متساوي الساقين
مثلث مختلف الأضلاع
خصائصه
هو المثلث الذي جميع أضلاعه متساوية في الطول وجميع زواياه متساوية لتكون كل زاوية 60 درجة.
هو المثلث الذي يوجد به ضلعان متساويان في الطول، وزاويتان (زوايا قاعدة المثلث) متساويتان في القياس.
هو المثلث الذي لا يكون له أضلاع متساوية في الطول، ولا زوايا متساوية في القياس.
خصائص المثلثات
في صدد عمل بحث عن تصنيف المثلثات، نجد أن هناك مجموعة من الخصائص التي يتميز بها المثلث وهذه الخصائص يمكن تمثيلها فيما يلي:
- في حالة أن يوازي مستقيم أحد أضلاع المثلث وقطع الضلعين الآخرين يعمل هذا المستقيم على تقسيم المثلث إلى مثلثات صغيرة متشابه ومتناسبة في الطول.
- الضلع الذي يقابل الزاوية الأكبر في المثلث هو الضلع الأكبر.
- كلًا من المثلث المتساوي الأضلاع والمتساوي الساقين يقسم القاعدة إلى نصفين متساويين، ويقسم المثلث نفسه إلى مثلثين متساويين.
- الزاوية الخارجة من المثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخلتين البعيدتين، وهي ما تعرف باسم خاصية الزاوية الخارجية.
- مجموع طول أي ضلعين من المثلث يكون أكبر من طول الضلع الثالث، وكذلك الفرق بين أطوال ضلعين في المثلث يكون أقل من طول الضلع الثالث وهذه قاعدة ثابتة.
تطابق المثلثات
هناك بعض الشروط التي يجب تطبيقها من أجل أن تصبح المثلثات متطابقة، وهذه الشروط تتمثل فيما يلي:
- لو كانت الأضلاع المتناظرة في المثلث لها نفس الطول.
- في حال ما كان طول ضلعين بينهما زاوية تساوي نفس الزاوية في المثلث الآخر، بحيث تكون هذه الأضلاع متناظرة.
تشابه المثلثات
يمكن أن يكون المثلثان متشابهين في حالة توافر الشروط التالية:
- في الوقت الذي يكون لهما نفس قياس الزاوية ويكونوا مختلفين في الحجم ولكن الأضلاع متناسبة ويتم الرمز لتشابه المثلثات بالرمز (~).
- في حال تناسب أطوال الأضلاع المتناظرة في المثلث.
- لو كانت الزاوية المحصورة بين ضلعين في المثلث الأول تتناسب مع الزاوية والضلعين الذين يحصرونها والمتناظرين لهم في المثلث الآخر.
- أن تكون الزوايا متطابقة بمعنى أن يكون هناك ثلاث زوايا متناظرة في كلٍ من المثلثين.
- أن تتساوى زاويتان والضلع المشترك معهما في المثلث الأول مع زاويتين وضلع من المثلث الآخر.
- في حالة تساوي وتر من المثلث القائم الزاوية وضلع من أضلاعه مع وتر مثلث قائم آخر وأحد أضلاعه.
قوانين مساحة ومحيط المثلث
لكي تتمكن من الإجابة عن مسائل المثلثات يجب أن يكون لديك دراية بكافة القوانين المتعلقة بها، فتأتي قوانين المثلث لتكون كما يلي:
1- مساحة المثلث
يمكن حساب مساحة المثلث بأكثر من قانون، وتقوم باستخدام القانون على حسب معطيات المسألة، وقوانين المثلث، تتمثل فيما يلي:
القانون المستخدم
أطوال الأضلاع
صيغة العالم هرون
ضلعين وزاوية
مساحة المثلث
½× طول القاعدة × الارتفاع
(س× (س-أ) × (س-ب) × (س-ج))
½×أ×ج×جاب
الرموز
–
س: نصف محيط المثلث.
أ ب ج: هما أضلاع المثلث.
أ: طول قاعدة المثلث
ج: طول ضلع المثلث. جا ب: جيب الزاوية المحصورة بين الضلعين أ و ج.
2- محيط المثلث
محيط المثلث هو المسافة التي تحيط بحواف المثلث، ويمكن حساب محيط المثلث من قانون واحد هو أن:
- محيط المثلث = (طول الضلع الأول + طول الضلع الثاني + طول الضلع الثالث) أي مجموع أطوال أضلاعه.
3- قوانين الجيب (جا) وجيب التمام (جتا)
هناك بعض القوانين الأخرى المتعلقة بالمثلث والتي تعرف بقوانين حساب المثلثات، وهذه القوانين تتمثل فيما يلي:
وجه المقارنة
قانون الجيب
قانون جيب التمام
القانون
أ÷جا(أَ)=ب÷جا(بَ)= ج÷جا(جَ)
أ²=ب²+ج²-2×ب×ج×جتا(أَ) ب²=أ²+ج²-2×أج×جتا(بَ) ج²=ب²+أ²-2×ب×أ×جتا(جَ)
الرموز
أ: طول الضلع الأول المثلث. أ: الزاوية التي تقابل الضلع أ.
ب: طول الضلع الثاني المثلث. بَ: الزاوية اتي تقابل الضلع ب.
ج: طول الضلع الثالث المثلث. جَ: الزاوية التي تقابل الضلع ج.
نظرية فيثاغورث
تنص نظرية فيثاغورث على أن: “مجموع مربعي طولي ضلعي القائمة، وهما الضلعين الأقصر في المثلث قائم الزاوية مساوٍ لمربع طول الوتر وهو الضلع الأطول في المثلث.“
معلومات حول المثلث
هناك بعض المعلومات التي تتعلق بالمثلث ويمكن التعرف إليها في النقاط التالية:
- مجموع زوايا المثلث الداخلية تساوي 180 درجة.
- الضلع الأكبر من المثلث يقابل أكبر زاوية، وكذلك أصغر ضلع يقابل أقل زاوية.
- مجموع طول أي ضلعين في المثلث يكون أكبر من طول الضلع الثالث.
- مقدار جمع أي زاويتين داخلتين في المثلث يساوي مقدار الزاوية الثالثة التي تجاورهما.
- الزوايا المتناظرة في المثلث متطابقة أما الأضلاع المتناظرة فتكون أطوالها متساوية.
- من الممكن أن يمتلك المثلث الواحد اسمين فمثلًا المثلث القائم في بعض الأحيان قد يكون متساوي الساقين.
- الارتفاع في المثلث القائم هو أحد الضلعين المتعامدين على الضلع الآخر، وإذا تم اعتبار أحد الأضلاع هو الارتفاع فيكون الضلع الآخر العمودي عليه هو قاعدة المثلث.
- في المثلث القائم الضلع المقابل للزاوية القائمة يعرف باسم الوتر، والضلعين الآخرين يسميان ضلعي القائمة.
البحث عن تصنيف المثلثات من الأمور البسيطة التي تحتاج إلى بعض التركيز وقليل من المجهود، حيث إن تصنيف المثلثات يتبع لزوايا المثلث وأطوال أضلاعه وهو أمر سهل الوصول له.
