خصائص المثلث متساوي الساقين

خصائص المثلث متساوي الساقين تعد معروفة إلى حد كبير بين أغلبنا، فهي واحدة من أهم عناصر علم المثلثات التي درسناها، لذلك فسيكون حديثنا اليوم عن خصائص المثلث متساوي الساقين، سنتعرف معًا على مفهوم المثلث متساوي الساقين والقوانين المستخدمة مع البرهنة عليها وخصائصه وأنواعه مع إضافة أمثلة للتوضيح، من خلال موقع الماقه.

خصائص المثلث متساوي الساقين

المثلث المتساوي الساقين يتميز بضلعين متساويين، وزاويتين متساويتين، لكن هناك حالة خاصة عندما تكون زواياه 90-45-45 فيطلق عليه المثلث المتساوي الساقين القائم الزاوية، وسنعرض من خلال النقاط التالية خصائص المثلث المتساوي الأضلاع.

• اثنين من أضلاعه تكون متساوية في الطول، وتسمى بساقي المثلث.
• الضلع الثالث من المثلث متساوي الساقين يسمى قاعدة المثلث
• زاويتا القاعدة تكون متساوية في القياس دائمًا.
• زوايا القاعدة تكون أقل من 90درجة أي زاوية حادة.
• الزاوية المقابلة للقاعدة تسمى زاوية رأس المثلث.
• عند جمع الزوايا يكون الناتج 180 فيما يُعنى أنه يمكننا معرفة زاوية رأس المثلث عند معرفة إحدى الزاويتين الأخرتين.
• ارتفاع المثلث هو الخط المستقيم الواصل بين رأس المثلث ونصف القاعدة.
• الخط المستقيم الذي يصل بين رأس المثلث والضلع المقابل لها أي القاعدة يقوم بتنصيفها، كما أنه ينصف زاوية رأس المثلث، ويسمى ” بالعمود المتوسط”، ففي علم المثلثات يعرف الخط المستقيم الذي ينطلق من رأس المثلث أو أحد رؤوس المثلث إلى الضلع المقابل له فينصفه يسمي “بالعمود المتوسط”.

البراهين على خصائص المثلث متساوي الساقين

في إطار عرض خصائص المثلث متساوي الساقين فجدير بالذكر أن بعض البراهين لابد من الإشارة إليها تسهيلًا وتثبيتًا لتلك الخصائص، ومن تلك البراهين ما سنعرضها كما يلي:

1- الخاصية الأولى: زاويتا القاعدة تكون متساوية في القياس دائمًا.

نفرض أنّ المثلّث (أ ب ج) مثلّث متساوي السّاقين فيه: أب= أج، وتكون الزاوية (أ) رأس المثلّث، أمّا زاويتا القاعدة: الزاوية (أ ب ج)، والزاوية (أ ج ب)، ولنثبت أنّ زاويتي القاعدة متساويتان:

نسقط عموداً من رأس المثلّث (أ) على قاعدة المثلّث (ب ج) ليقابلها في النقطة (د)، فيتكوّن المثلّثان القائمان (أ د ب) والمثلّث (أ د ج).

نبحث في تطابق المثلّثين (أ د ب) و(أ د ج).

أ ب=أ ج (المثلّث متساوي السّاقين).

زاوية (أ د ب) وزاوية (أ د ج) متساويتان في القياس (قياس كل منهما 90 درجة).

بما أن الضلع (أ د) ضلع مشترك.

إذا ينطبق المثلّثان بوتر وضلع وزاوية قائمة، لذا فإنّ قياس الزاوية (أ ب ج) يساوي قياس الزاوية (أ ج ب).

2- الخاصية الثّانية: المنطلق من رأس المثلث منصف الضلع المقابل

تنص تلك الخاصية من خصائص المثلث متساوي الساقين على الآتي:

لنثبت أنّ طول (ب د) يساوي طول (د ج)، وأنّ الزاوية (ب أ د) تساوي الزاوية (ج أ د):

نطبق ذلك على المثلّث متساوي السّاقين المذكور في الخاصية الأولى.

نبحث في تطابق المثلّثين (أ ب د) و(أ ج د).

أ ب= أ ج (مُعطى).

الزاويتان (أ د ب) و(أ د ج) متساويتان في القياس (قياس كلّ منهما 90 درجة).

الضلع (أد) هو ضلع مشترك (في العمل).

ينطبق المثلّثان بوتر وضلع وزاوية قائمة، والنّتيجة هي: طول (ب د) يساوي طول (د ج)، والزاوية (ب أ د) تساوي الزاوية (ج أ د).

حساب مساحة المثلث المتساوي الساقين

القانون المستخدم هو نصف طول قاعدة المثلث × ارتفاعه

مثالًا على ذلك: مثلث متساوي الساقين قاعدته 10سم، وارتفاعه 10سم، أحد ساقيه 10سم، فما مساحة هذا المثلث؟

الإجابة:

نصف طول قاعدته = 5سم

طول ارتفاعه = 10سم

إذن فمساحة المثلث هي نتيجة حساب نصف طول القاعدة × الارتفاع وتساوي 50سم مربع، ولا يؤخذ بعين الاعتبار طول الساقين في هذا المثلث.

قوانين ومسائل خاصة بالمثلث المتساوي الساقين

تتعدد القوانين الخاصة بالمثلث المتساوي الساقين، مثل حساب قاعدة المثلث وحساب طول أحد الأضلاع وغيرها وفيما يأتي سنعرض هذه القوانين موضحه بالأمثلة:

1- كيفية حساب قاعدة المثلث متساوي الساقين

 القانون: قاعدة المثلث = (مربع طول إحدى الساقين المتساويتين – مربع الارتفاع) √×2  

يُمكننا حساب قاعدة المثلث عند معرفة طول أحد الضلعين المتساويين (ل)، وارتفاع المثلث (ع)

ق=(ل²-ع²) √×2.

2- كيفية حساب طول أحد الضلعين المتساويين

القانون: طول إحدى ساقي المثلث المتساويتين= (مربع الارتفاع + مربع نصف طول القاعدة) √

يُمكننا حساب طول أحد الضلعين المتساويين (ل) في حال معرفة طول قاعدة المثلث (ب)، وارتفاعه (ع)

ل = (ع² + (ب/2) ²) √

3- كيفية حساب قياس الزوايا الداخلية

بينما نتحدث عن خصائص المثلث متساوي الساقين فيُمكننا إيجاد قياس جميع زوايا المثلث متساوي الساقين عند معرفة قياس زاوية واحدة فقط، والمثالان التاليان سيوضحان ذلك:

المثال الأول: مثلث متساوي الساقين قياس زاوية رأس المثلث 40 درجة، فما هو قياس الزوايا الأخرى؟ الحل:

بما أن مجموع زوايا المثلث 180 درجة، فبالتالي 180 – 40 = 140.

بما أن زوايا قاعدة المثلث متساوية، فإن قيمة كل من زاويتي القاعدتين تساوي 140/2، إذا الناتج يساوي 70 درجة.

المثال الثاني: إذا كانت قيمة إحدى زوايا قاعدة المثلث متساوي الساقين تساوي 45 درجة، فما هو قياس الزوايا الأخرى؟

الحل:

بما أن زوايا قاعدة المثلث متساوية فإن قياس الزاوية الأخرى 45 درجة أيضاً.

بما أن مجموع زوايا المثلث 180 درجة، فإن قياس زاوية رأس المثلث يساوي (180 – 45 – 45)، إذا الناتج يساوي 90 درجة.

مسائل على خصائص المثلث متساوي الساقين

تبعًا لتعدد الخصائص للمثلث المتساوي الساقين، ولتوضيح تلك الخصائص سنعرض لكم عدة أمثلة.

المثال الأول

مثلث أ ب جـ، فيه طول أب = أ جـ فإذا كان قياس الزاوية ب أ جـ يساوي 40 درجة، فما هو قياس ∠أ ب جـ؟

الحل:

بما أن أ ب = أ جـ، فإن ∠أ ب جـ = ∠أ جـ ب؛ وفق خصائص المثلث متساوي الساقين.

بما أن مجموع زوايا المثلث 180 فإن ∠أ ب جـ + ∠أ جـ ب + ∠ب أ جـ = 2∠أ ب جـ + ∠ب أ جـ = 180.

بالتالي فإن 2∠أ ب جـ = 140، وبالقسمة على 2 فإن الزاوية أ ب جـ تساوي 70 درجة.

المثال الثاني

 ثاني الأمثلة على خصائص المثلث متساوي الساقين هي مثلث أ ب جـ متساوي الساقين، فإذا كان قياس الزاوية أ ب جـ يساوي 50 درجة فما هي احتمالات قياس الزاوية ب أ جـ؟

الحل:

• الاحتمال الأول: إذا كانت ∠أ ب جـ = ∠ ب أ جـ؛ أي أن: ب جـ = أ جـ؛ فإنه يمكن معرفة قياس الزاوية أ ب جـ مباشرة، وتساوي 50 درجة.
• الاحتمال الثاني: إذا كانت ∠أ ب جـ = ∠ ب جـ أ؛ أي أن: أجـ = أب؛ فإنه يمكن إيجاد ∠ب أ جـ كما يلي: 50 + 50 + ∠ب أ جـ = 180درجة، وبالتالي فإن ∠ب أ جـ = 80 درجة.
• الاحتمال الثالث: إذا كانت ∠ب أ جـ = ∠ب جـ أ؛ أي أن: ب جـ = أب؛ فإن 50 + 2∠ب أ جـ = 180، وبالتالي فإن ∠ب أ جـ = 65 درجة.

هذا يعني أن هناك ثلاثة احتمالات لقياس ∠ب أ جـ وهي: 50، و65، و80 درجة.

المثال الثالث

مثلث متساوي الساقين أ ب جـ، وفيه الضلع د جـ يمثل المستقيم الواصل بين الرأس جــ، والقاعدة أ ب، وفيه أ د = د جـ = جـ ب، فإذا كانت قياس الزاوية د أ جـ يساوي 40 درجة، فما هو قياس ∠ د جـ ب؟

الحل:

في المثلث أ د جـ فإن ∠ د جـ أ = ∠د أ جـ = 40، وبالتالي:

• ∠ جـ د ب = 40 + 40 = 80 درجة، وذلك لأن الزاوية جـ د ب تمثل زاوية خارجية للمثلث أ د جـ، وقياس الزاوية الخارجية يساوي دائما مجموع الزاويتين البعيدتين عنها.

في المثلث د جـ ب فإن ∠جـ ب د = ∠جـ د ب = 80 درجة، وبالتالي:

• ∠د جـ ب = 180 – 80 – 80، ويساوي 20 درجة.

المثال الرابع

 مثلث متساوي الساقين قياس إحدى زاويتي قاعدة المثلث (4س+12)، وقياس الزاوية الأخرى (5س-3)، فما هي قيمة س، وما هو قياس زوايا المثلث؟

الحل:

• بما أن زوايا قاعدة المثلث متساوية، فإنه يمكن إيجاد قيمة س كما يأتي:

4س+12 = 5س-3

بحل هذه المعادلة فإن س = 15.

الزاوية الأولى: (4س+12) = (4×15) + 12 = 72.

بما أن زاويتي القاعدة متساويتين فإن قياس الزاوية الأخرى 72 درجة أيضاً.

بما أن مجموع زوايا المثلث 180 فإنه يمكن إيجاد زاوية رأس المثلث كما يلي: 180 – 72 – 72، ويساوي 36 درجة.

المثال الخامس

 مثلث متساوي الساقين قياس إحدى زاويتي القاعدة 47، فما هو قياس زاوية رأس المثلث؟

الحل:

• بما أن المثلث متساوي الساقين فإن زوايا القاعدة متساوية، وبالتالي فإن قياس زاوية القاعدة الأخرى 47 درجة أيضاً.
• بما أن مجموع زوايا المثلث 180 فإنه يمكن إيجاد زاوية الرأس (س) كما يأتي: 47 + 47 + س = 180 س
• = 180 – 47 – 47= 86 درجة.

المثال السادس

مثلث متساوي الساقين فيه قياس زاوية الرأس 116، فما هو قياس زاويتي القاعدة؟

 الحل:

• بما أن مجموع زوايا المثلث 180، فإنه يمكن إيجاد زاويتي القاعدة المتساويتين (ب) كما يأتي: 116 + ب + ب = 180 درجة. 2 × ب = 64 ب = 32 درجة.

المثال السابع

مثلث متساوي الساقين فيه طول أحد الضلعين المتساويين 19س + 3، وطول الضلع الآخر 8س + 14، فما هي قيمة س؟

الحل:

• بما أن الضلعين متساويين، فإنه يمكن إيجاد قيمة س كما يأتي: 19س + 3 = 8س + 14، ومنه: 11س = 11، ومنه: س = 1.

المثال الثامن

مثلث متساوي الساقين فيه طول أحد الضلعين المتساويين 5ص – 2، وطول الضلع الآخر 13، فما هي قيمة ص؟

الحل:

• بما أن المثلثين متساويين فإنه يمكن إيجاد قيمة ص كما يأتي: 5ص – 2 = 13، ومنه: 5ص = 15، ومنه: ص = 3.

المثال التاسع

مثلث متساوي الساقين فيه قياس زاويتي القاعدة 8ص – 16، والزاوية الأخرى 72، وقياس زاوية الرأس 9س، فما هي قيمة س، وص؟

الحل:

• بما أن المثلث متساوي الساقين فإن قياس زاويتي القاعدة متساوي، وبالتالي فإنه يمكن إيجاد قيمة ص كما يأتي:

8ص – 16 = 72، ومنه: 8ص = 88، ومنه: ص = 11.

• بما أن مجموع زوايا المثلث 180 درجة، فإنه يمكن إيجاد قياس الزاوية الرأس كما يلي:

180 – 72 – 72 = زاوية الرأس، ومنه: زاوية الرأس = 36 = 9س، وبالتالي فإن س = 4.

المثال العاشر

مثلث متساوي الساقين قائم الزاوية طول ضلعيه المتساويين اللذين يمثلان ضلعي القائمة 6.5 سم، فما هو طول الوتر؟

الحل:

• بما أن المثلث قائم الزاوية فإنه يمكن إيجاد طول الوتر باستخدام نظرية فيثاغورس، وذلك كما يأتي:
• الوتر2 = (الضلع1)2 + (الضلع 2)2؛ حيث إن الضلع الأول، والثاني (ل) هما ضلعي القائمة.
• الوتر² = (ل² + ل²) √، وبإدخال الجذر التربيعي على الطرفين فإن الوتر = ل×2√، وبالتالي فإن الوتر = 6.5×2√.

 المثال الحادي عشر

مثلث متساوي الساقين قائم الزاوية فإذا كان طول الوتر فيه 10√ سم، فما هو طول ضلعي القائمة المتساويين؟

الحل:

• بما أن المثلث قائم الزاوية فإنه يمكن استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول ضلعي القائمة، وذلك كما يأتي:

الوتر2= (الضلع 1)2+ (الضلع2)2، ومنه: الوتر² = (ل² + ل²) √، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج أن:

الوتر = طول ضلعي القائمة المتساويين×2√، ومنه: 10√= طول ضلعي القائمة المتساويين×2√ ومنه: الضلع = 2√/10√، وبالتالي فإن طول كل من ضلعي القائمة 5√ سم.