ما هو العدد النسبي في علم الرياضيات؟ وهل له أنواع؟ وكيف تتم العملية الحسابية التي يستخدم فيها العدد النسبي؟، للأعداد النسبية أهمية كبيرة في علم الرياضيات وأيضًا في الحياة اليومية فمعظم الأعداد المستخدمة هي أعداد نسبية، وفيما يلي سنعرض لكم من خلال موقع الماقه كل ما يتعلق بالعدد النسبي وخصائصه وأمثلة مختلفة عليه.
ما هو العدد النسبي
تسمى الأعداد النسبية بالأعداد الكسرية أيضًا والعدد الكسري هو المكون من بسط ومقام بشرط آلا يكون ذلك المقام الرقم صفر، والعدد النسبي هو يشمل العدد الحقيقي والعدد الحقيقي يشمل العدد الصحيح والعدد الصحيح يشمل العدد الطبيعي.
أي إذا اعتبارنا الأعداد النسبية حقيبة كبيرة فبداخل هذه الحقيبة عدة حقائب أخرى أولها حقيبة الأعداد الحقيقية ثم عند فتحها نجد حقيبة الأعداد الصحيحة ثم عند فتح حقيبة الأعداد الصحيحة نجد بداخلها حقيبة الأعداد الطبيعية.
أنواع العدد النسبي
استكمالًا لحديثنا للإجابة عن السؤال ما هو العدد النسبي، فللعدد النسبي أنواع عديدة، منها النسبي الموجب والعدد النسبي السالب، ونفرق بينهم من الإشارة سواء كانت في البسط أو في المقام، فإذا كانت الإشارة فوق أي في البسط وكانت تحت أي في المقام أي في الإثنين معًا فالعدد النسبي هنا نوعه موجب، أما إذا كانت الإشارة في أحداهما فقط بيكون العدد النسبي نوعه سالب.
الأعداد الغير النسبية ومفهومها
استمرارًا في حديثنا فيما يخض سؤالنا ما هو العدد النسبي، فلابد من التنبيه على أن هناك أعداد غير نسبية، وهي أعداد لا تتضمن أعداد صحيحة أي تكون عبارة عن جذور غير متكاملة وكسور عشرية غير متكرر وكسور عشرية غير منتهية أي لا يمكن كتابتها على شكل كسر طبيعي مطون من بسط ومقام.
أما عن الكسور العشرية فهي تنتمي إلى الاعداد غير النسبية وتكون لا نهاية لها، ومن هذه الأعداد غير النسبية جذر التربيع للعدد 2 فهو يتكون من عدد كسري عشري غير منتهي أي لا نهاية له فلا ينتهي عند رقم محدد.
أمثلة ومسائل على الأعداد غير النسبية
ليتضح الفرق بين ما هو العدد النسبي وما هو العدد غير النسبي سنقدم أمثلة على الأعداد غير النسبية، والأعداد غير النسبية تتصنف إلى:
عدد نيبيري هـ: هو يتكون من كسر عشري لا نهاية له، وتكون الأرقام التالية الخانات العشرية الأولى فيه، وهي: 2.718281828459
جذر تربيع الرقم 99: يتكون من رقم عشري غير منتهِ ونمطه متكرر فهو يساوي 9.9498743…
هناك أعداد أخري تتكون من جذور تربيعية وتكعيبة وتساوي أرقام غير منتهِ فهذه تندرج أيضًا تحت الأعداد الغير النسبية، ولكن ليست جميع الجذور التربيعية والتكعيبية غير نسبية، على سبيل المثل الجذر التربيعي للرقم 4 ينتج عنه الرقم 2 إذا فهو عدد نسبي.
إذا تم ضرب عدد غير نسبي في عدد غير نسبي الناتج يكون عدد نسبيًا ومثال على ذلك ناتج ضرب الجذر التربيعي للعدد 2 في نفسه النتيجة هي الرقم 2 أي عدد نسبي.
الأعداد النسبية تشمل معظم الأعداد
لنبين بشكل أوضح ما هو العدد النسبي جدير بنا الإشارة إلى أن الأعداد النسبية تضمن نسبة كبيرة من الأعداد في علم الرياضيات، مثل: الأعداد الصحيحة والأعداد الحقيقية والأعداد الطبيعية والأعداد الكسرية المكونة من بسط ومقام والكسور العشرية.
- الأعداد الصحيحة: ما يميز الأعداد الصحيحة أن جميعها نسبية، فهي تتكون من بسط ومقام أيضًا ولكن المقام دائمًا يساوي واحد، وأمثلة على ذلك: العدد 3 مثلا فهو مكون من البسط رقم 3 أما المقام فهو الرقم واحد، وتكتب على هذا الشكل 3/1 وهكذا في جميع الأرقام الصحيحة، وتنقسم الأعداد الصحيحة إلى:
- أعداد كاملة: هي الأعداد التي تتكون من جميع الأعداد الطبيعية مع الصفر.
- أعداد سالبة: هي الأعداد التي تضمن الإشارة السالب، أي ما قبل الصفر مع وجود الصفر.
أي فالأعداد الصحيحة تشمل جميع الأعداد السالب والموجبة بالإضافة إلى الصفر.
- الأعداد الكسرية: ما يميز الأعداد الكسرية أنها تكتب على شكل كسور بسط ومقام ولكن هنا المقام لا يساوي الرقم واحد ولا يساوي الرقم صفر، مثال على ذلك: كسر 6/4 العدد 6 في البسط والعدد 4 في المقام فالناتج يكون عدد نسبي عدد صحيح.
- الكسور العشرية: تعد الكسور العشرية أعداد نسبية بشرط أن تكون إما دورية أو منتهية، وتكتب في صورة بسط ومقام أيضًا، ولنوضح ذلك بمثال: العدد 1.6 في البسط والعدد 1في المقام فإذا ضُرب كلًا من البسط والمقام في 10 كان الناتج 16/10 والعدد 10 لا يساوي الصفر إذا هو أيضًا عدد نسبي.
- الأعداد الطبيعية: تتكون من جميع الأعداد الصحيحة بداية من الرقم 1 إلى نهاية الأعداد الصحيحة.
- الأعداد الحقيقة: هذه الأعداد تضمن الأعداد النسبية وغير النسبية.
خصائص وصفات الأعداد النسبية
تتعدد خصائص العدد النسبي، ولذلك سنعرضها لكم في صورة نقاط للتوضيح:
- الأعداد النسبية لا تتأثر عند ضربها بأعداد صحيحة أي لا تساوي الصفر، فلا تتغير قيمتها؛ لأن عن التبسيط يكون الناتج نفس الرقم، مثلًا لذلك: العدد 2/5 عند الضرب في الرقم 3 يكون الناتج 6/15 وعند التبسيط ترجع إلى صورتها الأولى 2/5.. وهكذا.
- الأعداد النسبية لا تتأثر عن قسمتها بواسطة عدد صحيح أي لا يساوي الصفر، لا تتغير قيمتها، مثلًا: العدد 6/15 عند قسمة كلًا من البسط والمقام على 3 تكون النسبة 2/5 أي عدد نسبياً أيضًا.
- عند إجراء عمليات الضرب والجمع والطرح بين عددين نسبيين يكون الناتج عددًا نسبياً.
- عند إجراء عملية جمع لعددين نسبيين وكلًا منهما له نفي العدد في المقام يكون الناتج حاصل جمع البسطيين ويبقى العدد في المقام نفسه، مثلًا: 3/5+6/5 الناتج 9/5 إذا المقام ثابت.
- عند إجراء عملية ضرب لعددين نسبيين البسطين مختلفين وكذلك المقامين فالناتج يكون محصلة ضرب البسط في البسط على محصلة ضرب المقام في المقام، مثلًا: 2/6 في 3/5.
- المربع للجذر التربيعي يكون عدداً نسبياً دائماً، ويكون العدد الموجود تحت الجذر.
- عند ضرب جذر غير نسبي في أخر غير نسبي ينتج عنه عددًا نسبيًا، ولكن ذلك ليس دائمًا، فعلى سبيل المثل: الجدر التربيعي للعدد 2 في الجذر التربيعي للعدد 8 يكون الناتج الجذر التربيعي للعدد 16 وهو العدد 2 أي عددًا نسبيًا.
- إذا كان هناك عامل مشترك بين البسط والمقام وكان هذا العدد هو الرقم واحد، فهو إذا يسمى بالصورة القياسية لهذا العدد النسبي.
- يمكن في عمليات الجمع والطرح للأعداد غير النسبية أن تنتج أعدادًا نسبية، ولكن ذلك بشرط أن يكون هناك رقمان متعاكسان في الإشارة ويلغي كلًا منهما الأخر.
العمليات الرياضية والحسابية التي تٌجرى على الأعداد النسبية
- عملية الضرب: تتم من خلال ضرب العدد الموجود في البسط في الكسر الأول مع العدد الموجود في البسط في الكسر الثاني فناتج ضربهم يكون هو البسط الموجودة الناتج وكذلك في المقام فإن حاصل ضرب المقامين يكون هو العدد الموجود في ناتج المقام.
- عملية القسمة: يتم في هذه العملية ما يسمي بالقلب، وهو أن يظل البسك والمقام للكسر الأول كما هما ثم تحول علامة القسمة إلى ضرب ويقلب الكسر الثاني فيوضع العدد الموجود في البسط في المقام ويوضح العدد الموجود في المقام في البسط.
- عملية الجمع: يتم في هذه العملية جمع كلًا من البسطين معًا إذا كان المقام يحتوي على نفس العدد في الكسرين.
- عملية الطرح: يتم في هذه العملية ما يتم في عملية الجمع تمامًا إذا كان المقام في كلا الكسرين يحتوي على نفي العدد، فيطرح البسط الثاني من البسط الأول ويظل المقام كما هو.
